L’effetto farfalla

“Predictability: does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?” – “Predicibilità: il battito d’ali di una farfalla in Brasile può provocare un tornado in Texas?”
Questa fu la famosa frase di Edward Norton Lorenz, un noto matematico e meteorologo degli Stati Uniti, pronunciata nel dicembre del 1972 durante una conferenza annuale dell’AAAS (American Association for the Advancement of Science).

Egli fu tra i pionieri della cosiddetta “Teoria del caos”, ovvero quello studio secondo cui piccole variazioni iniziali nel sistema atmosfera possono produrre grandi cambiamenti a livello globale e quindi su scala più ampia; tale attività di ricerca costituì sicuramente una svolta molto importante nello studio delle dinamiche atmosferiche e sulla predicibilità della relativa evoluzione nel tempo.

Tale frase un po’ estremizzata rende però bene l’idea del comportamento dell’atmosfera che quindi si presenta molto complesso e non facilmente descrivibile da un modello matematico se non con diverse approssimazioni.
Abbracciando maggiormente un discorso di carattere generale, tutto parte dalla trattazione matematica di un comportamento di un fluido, il quale viene definito come “una sostanza che si deforma illimitatamente se sottoposta ad uno sforzo di taglio costante, anche molto piccolo”; possiamo parlare quindi sia di aria che di sostanze liquide.

Non addentrandoci qui ovviamente nella complessa trattazione fisico/matematica dell’argomento, possiamo però accennare all’esistenza di complesse equazioni differenziali, non lineari, di cui non esiste una soluzione esplicita se non in casi particolari e soprattutto, come già detto, con diverse approssimazioni.
In prima istanza abbiamo le equazioni di Eulero le quali consentirebbero di descrivere il moto di un fluido conoscendone lo stato iniziale ed il “recipiente” che lo contiene; le variabili prese in considerazone sono la velocità, la densità e la pressione. Per queste equazioni vengono però effettuate delle notevoli semplificazioni a monte, per esempio in questo caso non si considera la variabile attrito, che quindi viene totalmente trascurata.

Dovendo invece rappresentare in qualche modo anche questa variabile, la quale non si può certamente trascurare nell’ambito atmosferico, in linea teorica si dovrebbe prendere in considerazione il comportamento delle forze di interazione tra le molecole, ma qui si entrerebbe in una descrizione micro-fisica di un fluido (ovvero molecola per molecola). Avendo però la necessità di descrivere una certa “quantità” di fluido si può effettuare una sorta di media tra tante molecole, rendendo chiaramente un po’ meno gravoso il complesso calcolo dell’evoluzione.

L’introduzione del parametro attrito comporta che nelle equazioni del moto venga aggiunto un parametro denominato viscosità cinematica, il quale dipende dal fluido considerato; le equazioni così ottenute sono dette equazioni di Navier-Stokes, e sono tra quelle che vengono utilizzate per l’inizializzazione dei modelli matematici di previsione.

Tali equazioni hanno dei risvolti interessanti per quanto riguardo il comportamento di un fluido turbolento che scorre attorno ad un ostacolo, ad esempio un cilindro. Supponendo che:

• L = diametro del cilindro
• v = coefficiente di viscosità del fluido (per l’aria è di 0.14 cm²/sec)
• U = velocità del flusso

si ha che per un certo valore definito dall’espressione di U*L/v, il comportamento del sistema è uguale se cambiamo uno di questi 3 parametri ma facendo in modo che il quoziente ottenuto sia il medesimo.
In altre parole, ciò significa che per esempio il comportamento per U molto grandi deve essere uguale a quello di v molto piccoli: tale caratteristica fu scoperta dal fisico irlandese Reynolds, e per la sua importanza questo parametro (che è adimensionale, ovvero il suo valore è privo di unità di misura) prende proprio il nome di numero di Reynolds, ed indicato con la sigla Re.

Pertanto flussi che hanno lo stesso Re devono comportarsi allo stesso modo; il comportamento qualitativo della soluzione delle equazioni di Navier-Stokes cambia in funzione di Re: più aumenta questo parametro, più il flusso diventa turbolento ed irregolare, quindi “caotico”.